行列式

定义

定义1.1

将n个不同元素排成一列,称为这n个元素的一个全排列,简称排列

定义1.2

对于n个不同的元素,先规定各元素之间有一个标准次序(例如n个 不同的自然数,可规定从小到大为标准次序),于是在这n个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。逆序数个数记做$\tau(a_1, a_2, \cdots, a_n)$

逆序数为奇数的称为奇排列,偶数的成为偶排列。

定理1.1

一个排列中任意两个元素对换,排列改变奇偶性。

定义1.3

由$n^2$个数排成n行n列的数表组成$n$阶行列式

$ A = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| $

其值$det(A) = \sum (-1)^{\tau(j_1, j_2 \cdots j_n)} a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n}$

性质

性质1.1

$D$的转置行列式为互换D的行与列,记做$D^T$。

性质1.2

互换行列式的两行(列),行列式符号改变。

性质1.3

行列式某行(列)所有元素乘以$k$,等于用数$k$乘以改行列式。即

$$ \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots\ & & \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots\ & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| = k\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots\ & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots\ & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| $$

性质1.4

行列式可按某一行(列)分解成两个行列式之和。即

$$ \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots\ & & \vdots \\ a_{i1}+a_{i1}' & a_{i2}+a_{i2}' & \cdots & a_{in}+a_{in}' \\ \vdots & \vdots\ & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots\ & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots\ & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \vdots\ & & \vdots \\ a_{i1}' & a_{i2}' & \cdots & a_{in}' \\ \vdots & \vdots\ & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right|$$

性质1.5

把行列式某一行(列)的各元素乘以同一数$k$后,加到另一行(列)的对应元素上去,行列式的值不变。

以数$k$乘以行列式第$j$行(列)在加到第$i$行(列)上,记做$r_i+k c_j($c_i+k c_j)$。

性质1.6

$$ D=\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1k} & & & \\ \vdots & & \vdots & & \Huge0 & \\ a_{k1} & \cdots & a_{kk} & & & \\ c_{11} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & c_{nk} & b_{n1} & \cdots & b_{nn} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} A_k & O \\ C & B_n \end{array} \right| = |A_k| |B_n|$$

行列式按行与列展开定理

定义1.4

在$n$阶行列式$det(a_{ij})$中,划去$a_{ij}$所在的行和列元素,剩下的元素组成的$n-1$阶行列式成为元素$a_{ij}$的余子式,记做$M_{ij}$,并称$A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{i+j}$为元素$a_{ij}$的代数余子式。

引理1.1

在行列式$D$中,如果其中第$i$行(列)元素除$a_{ij}$外全部为0,那么$D=a_{ij} A_{ij}$。

定理1.2

$n$阶行列式$D=det(a_{ij})$等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

$$ $D=a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + \cdots + a_{in} A_{in}, i=1, 2, \cdots, n$$

$ $D=a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \cdots + a_{nj} A_{nj}, j=1, 2, \cdots, n$$

范德蒙德行列式

$$ D_n = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \ vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{array} \right| = \prod_{1 \leq i \leq j \leq n} (a_j - a_i)$$

推论

    行列式任一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
$a_{i1} A_{j1} + a_{i2} A_{j2} + \cdots + a_{in} A_{jn} = 0, i \neq j$

$a_{1i} A_{1j} + a_{2i} A_{2j} + \cdots + a_{ni} A_{nj} = 0, i \neq j$

克莱姆法则

含有$n$个未知数$x_1, x_2, \cdots, x_n$组成的方程组,

$$ \left\{ \begin{aligned} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{nn} x_n=b_2 \\ \cdots \cdots \\ a_{n1} x_1+a_{n2} x_2+\cdots+a_{nn} x_n=b_n\end{aligned} \right.$$

当方程组右端常数项$b_1, b_2, \cdots, b_n$不全为零时,称为非奇次线性方程组。

定理1.3

如果线性方程组的系数行列式

$$ D=\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| \neq 0$$

则方程组有唯一解,且$x_j = \frac{D_j} {D}, j=1, 2, \cdots, n$

其中$D_j$是把系数行列式第$j$列用方程组右端常数项替换后所得。

定理1.3’

如果线性方程组无解或者有两个不同的解,则其系数行列式必为零。

定理1.4

如果奇次线性方程组

$$ \left\{ \begin{aligned} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1n} x_n=0 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{nn} x_n=0 \\ \cdots \cdots \\ a_{n1} x_1+a_{n2} x_2+\cdots+a_{nn} x_n=0\end{aligned} \right.$$

的系数行列式$D \neq 0$,则方程组只有零解。

定理1.4’

如果奇次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零。

一些特殊行列式的计算公式

上(下)三角行列式

$$ D=\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ &\Huge0 & & a_{nn} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & & \Huge0 & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2}& \cdots & a_{nn} \end{array} \right| = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$$

副对角下(上)的元素全为0的行列式。

$$ \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2, n-1} & \\ \vdots & \iddots & & \\ a_{n1} & & \Huge0 & \end{array} \right| = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n} a_{2, n-1} \cdots a_{n1}$$

行列式的基本计算方法

用行列式的定义和性质计算

用行列式的展开定理进行降阶或升阶计算

化成上(下)三角行列式进行计算

利用递推关系法或者数学归纳法计算